《庄子·齐物论》：凡物无成与毁，复通为一。王弼福因才折，没有来得及为《庄子》作注，遂使郭象成名。马一浮先生在浙大校歌中言“靡革匪因 靡故匪新”，这是校歌中我最喜欢的一句。革新基于旧事物中的既有特征，而万物皆孕育新的变化，是故新旧一体，此消彼长，“无成与毁，复通为一”，于是天地万物在消长中重塑平衡，是谓“周期”。
刘琨在八王之乱，中原陆沉时作《劝进表》，写道“昏明迭用,否泰相济。”在刘琨看来，司马睿江南称帝正可使中华文明否极泰来。然而周期短长，时势消长，刘琨岂能预测精准。王敦以及随后的苏峻祖约之乱，世人以为晋朝国运将至，而随后的淝水之战，便又起死回生。拉普拉斯认为宇宙间万物的运行轨迹均已注定，然而个体确实渺小，即便可以仰观宇宙，也只能慨叹自身认知的狭隘。
文明兴替的周期难以洞察，有形物质的变化更容易捕捉。傅立叶变换，便是以周期函数为研究对象的。最简单的周期函数是正弦函数或余弦函数，而后者又可视为仅改变了初始相位的正弦函数。如果将正弦函数/余弦函数视为事物周期变化的基本单元，即“复通为一”的“一”，那么是否任何具有周期特征的事物都可以用这个基本单元来表示呢？法国数学家、物理学家傅立叶的回答是肯定，任何周期函数在满足一定条件下，都可以用正弦函数和余弦函数的集合来表示。
对于正弦函数f(x) = sinx，其振幅为1，初始相位为0，其周期2π使其具有以下特征：
f(x + 2π) = f(x)
那么同样，对于任意整数k，
f(x + 2πk) = f(x)
正弦函数和余弦函数在【-π, π】区间有定义并且运行了一个完整的周期。如果存在另一个周期函数在【-π, π】区间也有定义，那么在傅立叶看来，该函数在符合一定条件下也理应可以用正弦函数和余弦函数来表示。而这种表示形式，便是该函数的傅立叶级数：
这一公式应用的前提为周期函数周期为2π且初始相位为0，否则该公式便要有相应变形，这将在下文介绍。另外，该公式中ak与bk未知，需要求导，且函数f(x)另需要满足一定条件才能使等式成立，这便要引入两个新的概念，分段连续以及三角函数正交性。
作者：王博远，美国加州律师和美国专利代理师，中国律师和专利代理师，获得浙江大学工学学士和美国圣路易斯华盛顿大学电子工程硕士学位，以及美国西北大学法学硕士和圣路易斯华盛顿大学法律博士学位。
审阅：王宇飞，中国电子工程师，获得北京理工大学工学学士和北京理工大学电子工程硕士学位。
